Definición formal

La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones:

• suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w
• producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av.

que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas (u, v, w son vectores arbitrarios de V, y a, b son escalares, respectivamente):

Propiedad	Significado
1.-Propiedad asociativa de la suma	u + (v + w) = (u + v) + w
Propiedad conmutativa de la suma	v + w = w + v
2.-Existencia de elemento neutro o nulo de la suma	Existe un elemento 0 ∈ V, llamado vector cero o nulo, de forma que v + 0 = v para todo v ∈ V.
3.-Existencia de elemento opuesto o simétrico de la suma	Para todo v ∈ V, existe un elemento -v ∈ V, llamado opuesto de v, de forma que v + (-v) = 0.
4.-Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores	a (v + w) = a v + a w
5.-Propiedad distributiva del producto por un vector respecto a la suma de escalares	(a + b) v = a v + b v
6.-Propiedad asociativa mixta del producto por un escalar	a (b v) = (ab) v[nb 1]
7.-Existencia de elemento unidad del producto por un escalar	1 v = v, donde 1 es la identidad multiplicativa en K

8.-Con esta definición puede comprobarse que R², con la suma y producto vistos arriba, es por tanto un espacio vectorial. Comprobar los axiomas se reduce a verificar identidades sencillas como

(x, y) + (0, 0) = (x, y),

9.- la suma de un vector nulo (0, 0) con otro vector produce el mismo vector. La propiedad distributiva lleva a

(a + b) · (x, y) = a · (x, y) + b · (x, y).

Como calcular el determinante con el metodo de la inversa en el programa MATLAB

Teorema de Rouché–Frobenius

En álgebra lineal, el teorema de Rouché-Frobenius permite calcular el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en función del rango de la matriz de coeficientes y del rango de la matriz ampliada asociadas al sistema.

Lleva el nombre del matemático francés Eugène Rouché quien lo enunció y del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius quien fue uno de los muchos matemáticos que lo demostraron. Así, en otros idiomas¹ recibe otros nombres como el teorema de Rouché-Capelli, el teorema de Rouché-Fontené, el teorema de Kronecker-Capelli, etc.

El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condición necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes junto con la ampliada por los términos independientes posean el mismo rango. Por lo demás, el sistema constituido será determinado si su rango coincide con el número de incógnitas ó será indeterminado si posee un valor menor a tal número.

Historia

El teorema fue enunciado por Rouché (1875). Posteriormente Rouché (1880) publicó una versión más completa del teorema.

Después de la publicación, Georges Fontené publicó una nota en los Nouvelles Annales de Mathématiques reclamando haber sido el primero en demostrar el teorema. Más tarde, Frobenius en su artículo Zur Theorie der linearen Gleichungen de 1905 publicado en Crelle's Journal acreditó la demostración a Rouché y Fontené. En lengua española se conoce al teorema como teorema de Rouché-Frobenius debido al matemático hispano-argentino Julio Rey Pastor que se refirió al teorema con este nombre.

                                                               Gabriel Cramer

(31 de julio de 1704 - 4 de enero de 1752)

 fue un matemático suizo nacido en Ginebra. Mostró gran precocidad en matemática y ya a los 18 recibe su doctorado y a los 20 era profesor adjunto de matemática. Profesor de matemática de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofía en dicha universidad. En 1731 presentó ante la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las múltiples causas de la inclinación de las órbitas de los planetas.

Carátula del libro Introduction a l’analyse de lignes courbes algébriques. Editó las obras de Johann Bernoulli (1742) y de Jacques Bernoulli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental fue la Introduction à l’analyse des courbes algébriques (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algebraicas según los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por N puntos situados sobre ella,^[1] donde N viene dado por la expresión:

La Regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).

                                Gabriel Cramer

 (1704-1752). Retrato por Robert Gardelle.

Nacimiento 31 de julio 1704
Ginebra Fallecimiento 4 de enero 1752
Bagnols-sur-Cèze, Francia Nacionalidad  Suiza Ocupación matemático, físico Conocido por regla de Cramer Obras Introduction à l’analyse des courbes algébriques, 1750

                                                    propiedades de los determinantes

Bueno para empezar

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz

Algunas de sus propiedades están acontinuacion

|A^t|= |A| ( se lee como A transpuesta)

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

  2. |A|=0    Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la        diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

Bueno como vieron esto nos servirán para resolver mas fácilmente los determinantes de las matrices en las que se puedan.